Prozentpunkte vs. Prozent: 5 Fehler, die das Ergebnis ändern

Prozentrechnung ist die einzige Rechenart, mit der sich fast alle sicher fühlen, und die einzige, bei der zwei sorgfältige Menschen regelmäßig aus demselben Satz verschiedene Ergebnisse ziehen. Nicht weil die Arithmetik schwer wäre, sondern weil im Satz meistens fehlt, wovon der Prozentwert überhaupt ein Prozentwert ist.

Fünf Stellen, an denen das passiert, beginnend mit der schädlichsten.

Ein Satz kann nicht gleichzeitig um 1% und um 1 Punkt fallen

Wenn eine Zahl bereits ein Prozentwert ist, ist "sie fiel um 1%" mehrdeutig, und die beiden Lesarten liegen weit auseinander.

Ein Prozentpunkt ist die schlichte arithmetische Differenz zwischen zwei Prozentwerten. Prozent ist eine relative Veränderung. Das Office for National Statistics schreibt es seinen eigenen Autoren vor: ein Wert von 10%, der um 1 Prozentpunkt fällt, wird zu 9%, während ein Rückgang um 1% bei 9,9% landet¹.

Faktor zehn, wegen eines Wortes.

Deshalb bedeutet "die Arbeitslosigkeit stieg um 5%" für sich genommen gar nichts. Gemeint sein können fünf Prozentpunkte, was eine Katastrophe wäre, oder fünf Prozent des Satzes, was bei einem Ausgangswert von 4% ein Anstieg auf 4,2% ist und damit kaum mehr als Rauschen. Beides sind zulässige Lesarten derselben Wörter.

Die Prüffrage, die das jedes Mal auffängt: Prozent wovon? Fünf Prozent eines Satzes von 4% sind 0,2 Punkte. Fünf Prozent eines Satzes von 50% sind 2,5 Punkte. Dieselbe Formulierung beschreibt auf der zweiten Basis etwas 12,5-mal Größeres.

Verlust und Gewinn gleicher Größe heben sich nicht auf

Nehmen Sie eine Zahl um 50% herunter und dann wieder um 50% herauf. Sie sind nicht am Ausgangspunkt. Aus 100 werden 50, und aus 50 werden 75.

Der Gewinn, der einen Verlust ausgleicht, ist immer größer als der Verlust, und der Abstand wächst schnell.

Die Regel lautet Gewinn = Verlust / (100 - Verlust). Verlieren Sie 10%, brauchen Sie 11,1% zurück, was niemandem auffällt. Verlieren Sie 90%, brauchen Sie 900%.

Zwei alltägliche Varianten derselben Form: ein Unternehmen, das 30% seiner Kunden verliert, muss den Rest um 42,9% steigern, nur um wieder dort zu sein, wo es war. Und eine Portion, die erst um 20% verkleinert und dann um 20% vergrößert wird, ist am Ende 4% kleiner als am Anfang.

Aufschlag und Marge beschreiben dasselbe Geld

Etwas für 60 einkaufen, für 100 verkaufen. Der Gewinn beträgt in beiden Fällen 40, aber:

• Aufschlag misst ihn an den Kosten: 40 / 60 = 66,7%
• Marge misst ihn am Umsatz: 40 / 100 = 40%

Keins von beidem ist falsch. Die Nenner sind verschieden, deshalb erzeugen sie für dasselbe Geschäft sehr unterschiedlich aussehende Zahlen, und ein Lieferant, der vom Aufschlag spricht, während der Einkäufer die Marge hört, ist ein wirklich teures Missverständnis.

Umrechnung: Aufschlag / (1 + Aufschlag) ergibt die Marge, Marge / (1 - Marge) den Aufschlag. Ein Aufschlag von 50% ist eine Marge von 33%. Eine Marge von 40% ist ein Aufschlag von 66,7%.

Aufeinanderfolgende Prozentwerte multiplizieren sich

Zwanzig Prozent Rabatt und dann noch einmal zehn Prozent auf den reduzierten Preis sind keine dreißig Prozent. Der zweite Abschlag geht von einer kleineren Zahl ab.

1 - (0,8 × 0,9) = 0,28

Achtundzwanzig Prozent. Immer weniger als die Summe, und der Abstand wächst, je größer die Rabatte werden. Unser Rabattrechner setzt gestapelte Rabatte korrekt zusammen, und der Beitrag zur Rabattrechnung geht die Handelsfälle genauer durch.

Dieselbe Multiplikation erwischt auch Renditen. Eine Anlage, die in einem Jahr 10% zulegte, während die Inflation bei 3% lag, hat nicht 7% erzielt, sondern (1,10 / 1,03) - 1, also 6,8%. Und 1% Zuwachs pro Monat ergibt über ein Jahr 12,68%, nicht 12%, weil Zinseszins genau das tut, was Zinseszins tut.

Ein Prozentwert ohne seine Grundrate ist kein Beleg

Das ist der Fehler, der auch intelligenten Menschen standhält, weil die Arithmetik unsichtbar bleibt, bis man sie aufschreibt.

Ein Screening-Test ist in beide Richtungen zu 95% genau: er erkennt 95% der echten Fälle und stuft 95% der Gesunden korrekt als gesund ein. Jemand, den Sie kennen, wird positiv getestet. Wie wahrscheinlich ist es, dass die Person die Krankheit hat?

Der Instinkt sagt 95%. Die Antwort hängt von etwas ab, das in der Frage nie vorkam: davon, wie verbreitet die Krankheit ist.

Nehmen wir an, sie betrifft 1% der getesteten Bevölkerung. Bei 10.000 Personen:

• 100 haben sie. Der Test erkennt 95 davon.
• 9.900 haben sie nicht. Bei 5% davon schlägt der Test fälschlich an, das sind 495.
• Insgesamt 590 positive Ergebnisse, davon 95 echte.

Das sind 16,1%. Ein zu 95% genauer Test, angewendet auf eine Krankheit mit 1% Verbreitung, liefert positive Ergebnisse, die in fünf von sechs Fällen falsch sind. Nichts daran ist kaputt: die Aussagekraft eines positiven Ergebnisses hängt von der Prävalenz in der getesteten Population ab, nicht allein von der Genauigkeitszahl².

Das Muster geht weit über die Medizin hinaus. Ein Angriffserkennungssystem mit 0,1% Fehlalarmquote liefert bei einer Million Anfragen pro Tag tausend Fehlalarme täglich. Ein Prognostiker, der 85% Trefferquote angibt, ist wenig beeindruckend, wenn die tägliche Vorhersage "heute kein Erdbeben" auf 99,9% käme. In beiden Fällen stimmt die Genauigkeitszahl, und die daraus gezogene Schlussfolgerung nicht.

Merkregeln, die sich lohnen

• 50% Rabatt und danach noch einmal 50% sind 75% Rabatt, nicht geschenkt.
• Ein Zuwachs von 100% ist eine Verdopplung. Ein Anstieg um 200% ist eine Verdreifachung.
• "Um das Zehnfache gestiegen" ist ein Anstieg um 900%, nicht um 1000%.
• 37,5% sind 3/8, 66,7% sind 2/3, 12,5% sind 1/8. Für Aufteilungen und Anteile ist ein Bruch oft die klarere Einheit, wofür unser Bruchrechner da ist.

Unser Prozentrechner übernimmt die direkte Rechnung, aber keiner der fünf Fehler oben ist ein Rechenfehler. Es ist immer derselbe Fehler: ein Prozentwert, genannt ohne das, wovon er ein Prozentwert ist. Wenn Ihnen einer begegnet, ist das die erste Frage, und meistens die einzige, die Sie brauchen.